1.1 正数和负数
1.2 有理数及其大小比较
一、正数和负数核心知识点
正负数用来表示一组具有相反意义的量，例：-60m 代表向下 60 米；某地海拔 - 154.31m，含义是该地高度低于海平面 154.31 米。
数字 0 既不属于正数，也不属于负数。
二、有理数的概念
定义：能够写成分数形式的数，统称为有理数。
有理数分类：分为正有理数、负有理数两类，正有理数可转化为正分数形式，负有理数可转化为负分数形式。
关键要点
（1）所有整数都可以写成分数形式，例如 2=2/1、-3=-3/1、0=0/1，因此整数全部属于有理数。
（2）有限小数、无限循环小数都能够转化为分数，二者都属于有理数。
（3）正整数、0、负整数合在一起统称为整数。
易错提醒
（1）π 属于无限不循环小数，无法转化为分数，因此 π 不是有理数。
（2）判断一个数是否为有理数，唯一标准：该数能否改写成分数形式。
典型例题
给出数字：-3，0，½，-0.5，π，2024，其中有理数一共有 5 个，π 排除在外。
三、数轴知识点
定义：规定了原点、正方向、单位长度的直线，叫做数轴。
数轴三要素，三者缺一不可
（1）原点：直线上代表数字 0 的点；
（2）正方向：常规规定数轴原点向右、向上为正方向；
（3）单位长度：自行选取统一长度作为标准单位。
核心要点
（1）所有有理数，都能在数轴上找到对应的点；
（2）原点将整条数轴分割成正半轴、负半轴两个部分；
（3）假设 a 是正数，数字 a 对应正半轴上距离原点 a 个单位的点，数字 - a 对应负半轴上距离原点 a 个单位的点。
易错提醒
（1）绘制数轴时原点、正方向、单位长度三个要素必须全部具备，缺少任意一个都不是规范数轴；
（2）同一条数轴上所有单位长度必须保持统一，不能长短不一。
典型例题
在数轴上标出数字 3，-4，0.5，0，-5/2，-1，按照数轴从左到右的顺序排列大小：-4 ＜ -5/2 ＜ -1 ＜ 0 ＜ 0.5 ＜ 3。
四、相反数知识点
定义：只有符号不相同的两个数字，互为相反数。
核心要点
（1）数字 a 和数字 - a 互为相反数，a 可以是正数、负数、0 任意一类数；
（2）数字 0 的相反数仍旧是 0；
（3）在任意一个数字前面添加负号 “-”，得到的新数字就是原数字的相反数。
几何意义
在数轴上，互为相反数的两个点，以原点为中心对称分布，两点到原点的距离相等，分别位于原点两侧。
易错提醒
（1）相反数是成对存在的，不能单独说 “-3 是相反数”，正确表述为 “-3 和 3 互为相反数”；
（2）-a 不一定是负数，当 a 本身是负数时，-a 计算结果为正数；
（3）符号化简规则：-(-5)=5，-(+0.5)=-0.5。
典型例题
-7 的相反数是 7；如果数字 a 的相反数是 2.4，那么 a=-2.4。
五、绝对值知识点
定义：数轴上代表数字 a 的点与原点之间的距离，叫做数字 a 的绝对值，记作 | a|。
绝对值三条性质
（1）正数的绝对值等于它本身；
（2）负数的绝对值等于它的相反数；
（3）0 的绝对值等于 0。
分段计算公式
（1）当 a＞0 时，|a|=a；
（2）当 a=0 时，|a|=0；
（3）当 a＜0 时，|a|=-a。
核心要点
（1）任何数的绝对值都是非负数，结果一定大于或等于 0；
（2）互为相反数的两个数字，它们的绝对值相等；
（3）一个数字的绝对值越小，代表这个数字在数轴上对应的点离原点越近。
易错提醒
若一个数的绝对值等于 5，满足条件的数字有两个，分别是 5 和 - 5，做题不要漏掉负数。
典型例题
|-7|=7，|0|=0；|a|=-2 没有符合条件的数字，绝对值不可能为负数；若 | x|=3，则 x=3 或者 x=-3。
六、有理数的大小比较
基础比较法则
（1）正数大于 0，0 大于负数，所有正数都大于负数；
（2）两个负数对比大小，绝对值大的数字，实际数值反而更小。
数轴比较法
数轴上左边位置的数字，永远小于右边位置的数字。
通用比较步骤
（1）一正一负两个数：直接对比，正数更大；
（2）两个负数对比：先分别求出两个数的绝对值，再比较绝对值大小，绝对值大的原负数更小。
易错提醒
对比两个负数时，容易直接单纯比较数字大小导致出错。例：对比 - 3 和 - 7，|-3|=3，|-7|=7，3＜7，因此 - 3＞-7，而非 - 3＜-7。
典型例题
5＞-2（正数大于负数）；-3＞-7（负数绝对值越小，数值越大）；-(-1)=1，1＞-2=-(+2)。
七、全章节知识点速记总结
正数和负数：0 既不是正数也不是负数，正数、负数用来表示相反意义的量。
有理数的概念：只要能写成分数形式的数就是有理数，π 不属于有理数。
数轴：三大要素为原点、正方向、单位长度；数轴数字规律左小右大。
相反数：只有符号不同的两个数互为相反数，两数相加和为 0，0 的相反数是自身。
绝对值：代表数轴上点到原点的距离，结果永远不为负数；若 | a|=5，则 a 取值为 5 或 - 5。
有理数大小比较：正数＞0＞负数；两个负数比较，绝对值大的数字更小。
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